群、环、域、模、同态、格等是什么？有何联系与区别？

看了楼上的说法，我来说说个人理解
首先说说对问题的理解
1、楼主问群、域、环等，这个等还包括什么？包括模与同调吗？包括序和格吗？问题没有说清楚
2、单就群、域、环来说，这几个概念，每一个都有很多范畴，楼主具体想知道什么群、什么环呢？群包括交换群（加群）、置换群、典型群、半群、代数群、组合群、计算群、李群、拓扑群等等，每个群的性质都不太一样，楼主你问的是哪个群呢？环包括群环、分次环、半环、微分算子环、拟环等等，楼主又问的是哪个环呢？
基于对问题提的模糊不清，我只说群基本定义、交换群（一种常见的重要群）、结合环（环的主要研究对象）、域的基本定义，说说三者的区别和联系
概念如下：
1、群，域，环都是代数系统（非空集合+运算+规则）
2、群的定义=[非空集合V]+[一个称之为“乘法”的二元运算（对V中任意a，b，ab=c属于V）]+[结合律、单位元ae=ea=a、逆元aa-1=e]
3、交换群就是上面的群还满足交换律，也称作加群，ab=ba 此时单位元用0表示，称作零元
4、为了知道环，先说说半群，半群就是上面的群只满足结合律即可，那么环=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群（加群），V对乘法构成半群，乘法对加法满足分配律]
5、域=[非空集合V]+[两个二元运算（一个称之为加法，一个称之为乘法）]+[V对加法构成交换群，V对乘法是非零元构成交换群，乘法对加法满足分配律]
由以上定义可以看出
1、群是含一个二元运算，由单位元和逆元，而交换群（加群）是还要满足交换律，半群是群的扩展，只满足结合律
2、环是两个二元运算、对加法构成加群，对乘法构成半群，满足分配律
3、域是两个二元运算，对加法构成加群，对乘法构成非零元的交换群，满足分配律
注意半群是群的扩展，自然包括交换群，用一句形象的话来说（仅对上面的定义），群最小、域其次、环最大
我看有人回答“域是在交换环的基础上，还增加了二元运算除法”这句话是不对的，域定义中没有除法运算这个概念，环和域中都有乘法运算自然也就包括了除法这个逆运算，这句话可以这样说，交换环和域是等价的，因为交换环对乘法构成的是交换群，而不是半群，
此外补充一下，数环、数域的定义
数环：特殊数集、复数集的非空子集P中如果和、差、乘积仍属于P，那么P称为数环
数域：特殊数集、复数集的非空子集P中如果和、差、乘积、商（除数不含0）仍属于P，那么P称为数域
由此可见数环、数域只是以数为集合的概念，而与抽象代数中环、域是有些区别的，后者更加广义